آموزش جامع کلیات مجموعههای ریاضی؛ گام اول برای درخشش در آزمون تیزهوشان
سلام به همه دانشآموزان پرتلاش و هدفمند آکادمی تیزهوشان!
اگر دانشآموز پایه هشتم یا نهم هستید و هدف بزرگی مثل قبولی در آزمون تیزهوشان یا نمونهدولتی را در سر دارید، باید بدانید که فصل «مجموعهها» در ریاضی نهم، یکی از مهمترین و پایهایترین مباحث است. طراحان آزمون علاقه زیادی به ترکیب این فصل با مباحث دیگر مثل احتمال دارند. پس بیایید با هم خشت اول را محکم بگذاریم!
مجموعه چیست؟ (تعریف دقیق ریاضی)
در زبان روزمره، ما از کلماتی مثل «دسته»، «گروه» یا «کلکسیون» استفاده میکنیم. اما در ریاضیات، به هر دسته از اشیاء یا اعداد، مجموعه نمیگویند!
برای اینکه یک گروه از اشیاء تشکیل یک مجموعه (Set) بدهند، باید دو شرط اساسی داشته باشند:
- کاملاً مشخص باشند: یعنی هیچ شک و سلیقهای در انتخاب اعضا وجود نداشته باشد و همه آدمها روی آن اتفاق نظر داشته باشند.
- متمایز باشند: یعنی اعضای تکراری نداشته باشیم (هر عضو فقط یک بار نوشته شود).
مثال مفهومی:
فرض کنید معلم میگوید: «سه تا از دانشآموزان باهوش کلاس». آیا این یک مجموعه است؟ خیر! چون کلمه «باهوش» سلیقهای است و مشخص نیست دقیقاً منظور چه کسانی هستند.
اما اگر بگوید: «دانشآموزانی که در امتحان قبلی نمره ۲۰ گرفتند»، این عبارت یک مجموعه را تشکیل میدهد، چون کاملاً دقیق و مشخص است.
نمایش مجموعهها و عضویت
در ریاضیات، مجموعهها را با حروف بزرگ انگلیسی مثل $A$، $B$، $C$ و… نامگذاری میکنیم و اعضای آنها را داخل آکولاد $\{\}$ قرار میدهیم.
به عنوان مثال، مجموعه اعداد طبیعی یکرقمی و زوج را در نظر بگیرید:
$A = \{2, 4, 6, 8\}$
- برای نشان دادن اینکه عدد ۲ در این مجموعه قرار دارد، میگوییم «۲ عضو $A$ است» و از نماد $\in$ استفاده میکنیم: $2 \in A$
- برای نشان دادن اینکه عدد ۵ در این مجموعه نیست، میگوییم «۵ عضو $A$ نیست» و از نماد $\notin$ استفاده میکنیم: $5 \notin A$
تستهای آموزشی (ویژه آکادمی تیزهوشان)
برای اینکه خیالتان از یادگیری این مبحث راحت شود، بیایید دو تست شبیهساز آزمونهای ورودی را با هم بررسی کنیم:
تست ۱: کدامیک از عبارات زیر، یک مجموعه ریاضی را مشخص میکند؟
۱) اعداد طبیعی خیلی بزرگ
۲) سه شاعر معروف ایرانی
۳) اعداد اول یکرقمی
۴) دانشآموزان قدبلند مدرسه
- پاسخ تشریحی: گزینه ۳ صحیح است.
عبارتهای «خیلی بزرگ»، «معروف» و «قدبلند» کاملاً سلیقهای و نسبی هستند و شرط «مشخص بودن» را ندارند. اما «اعداد اول یکرقمی» کاملاً مشخص است و شامل اعضای $\{2, 3, 5, 7\}$ میشود.
تست ۲: اگر مجموعه $B$ شامل حروف کلمه “TIZHOUSHAN” باشد، کدام عبارت درباره مجموعه $B$ نادرست است؟
۱) $T \in B$
۲) مجموعه $B$ دارای ۱۰ عضو است.
۳) $H \in B$
۴) مجموعه $B$ دارای ۸ عضو است.
- پاسخ تشریحی: گزینه ۲ نادرست است (پس جواب تست همین گزینه است).
با توجه به شرط «متمایز بودن» در مجموعهها، نباید اعضای تکراری را بنویسیم. در کلمه TIZHOUSHAN، حروف H و H تکراری هستند. پس اگر مجموعه $B$ را تشکیل دهیم، اعضای آن به این شکل خواهند بود:
$B = \{T, I, Z, H, O, U, S, A, N\}$
همانطور که میبینید، این مجموعه ۹ عضو دارد.
خلاصه و جمعبندی
در این مقاله از آکادمی تیزهوشان یاد گرفتیم که پایه و اساس فصل مجموعهها در ریاضی نهم، درک درست از دو ویژگی «مشخص بودن» و «متمایز بودن» اعضا است. یادتان باشد که طراحان آزمون تیزهوشان، معمولاً روی کلمات نسبی (مثل زیبا، بزرگ، معروف) دست میگذارند تا شما را در تشخیص مجموعهها به اشتباه بیندازند. همچنین نوشتن اعضای تکراری در یک مجموعه هیچ تاثیری در تعداد اعضای آن ندارد.
